5.2 函数的基本性质（1）

一、单元内容分析

本单元是在初中和第四单元学过的一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数这些具体函数基础上，由特殊到一般归纳共性，讨论函数的基本性质，并通过探究函数的奇偶性(以及图像的对称性)认识函数的整体性质.

二、教学内容分析

1、教学内容

主要内容是函数的基本性质中的函数的奇偶性，这也是本单元的重要内容之一.

2、地位作用

由于初中关于“轴对称、中心对称”是直观说明的,高中则是严格地进行逻辑推理证明的.因此，本节课既是发展数学抽象、直观想象、逻辑推理的重要素材，又是为进一步研究函数的性质做准备和提供方法上的指导，进而凸显学习本节课的重要性.

三、学生学情分析

1、学生的相关学习经验

本节课的教学班级基础水平一般，平时能够较好地融入课堂，积极参与互动.在认知上，学生对于函数的概念并不陌生，初中阶段和上一章已经学习过一些基本的初等函数，在熟悉基本函数的基础上，对函数的奇偶性的概括还是比较容易的.

2、学生可能遇到的困难

对于奇偶函数的图像的对称性的严格证明，学生是有困难的.虽然学生目前具备了一定的分析问题和解决问题的能力，但是由于本节课要实现从几何直观到数学符号语言的表述、再到严格论证的过程，对数学思维的抽象性以及严谨性要求较高，还是面临较大的挑战.教学上适切运用技术结合直观想象，规范书写破解难点.

四、教学目标

1. 用问题情境抽象概括出奇函数与偶函数的概念,理解奇偶函数的图像特征，会在简单情形下利用定义判断函数的奇偶性并证明；

2. 在探究新知的过程中，感悟数形结合的数学思想方法，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养；

3. 在交流与反思活动中，分享学习的收获与感悟，发展数学的“三会”，养成学习数学的良好习惯，树立学好数学的信心．

五、教学重点和难点

  重点：偶函数与奇函数的定义与图像特征.

  难点：利用定义证明函数的奇偶性.

六、教学策略分析

为了更好突出本节课的重点，教师将通过层层设计问题，借助于GGB等工具作图等，引导学生得出偶函数的定义，类比出奇函数的定义，从熟悉的函数的奇偶性，到研究陌生的、抽象的函数的奇偶性，这样更加符合学生的认知规律.

七、教学过程设计

（一）创设情境 发现问题

 [问题1] 生活中的美.

（设计意图：轴对称图形在生活中随处可见，从此引入，凸显了研究函数奇偶性的必要性）

（二）概念探究 提出问题

[问题2]一个函数的图像关于y轴对称，函数值有什么数量关系？

（三）探究新知 分析问题

一个函数的图像关于y轴对称的等价表达形式是什么？

函数图像关于y轴对称等价于任意图像上的点，其关于y轴的对称点也在函数图像上.得出对于任意的，都有 .

反之，若对任意的，都有且，图像有什么特征？

对任意的，点在函数图像上，且，

满足，所以也在函数图像上.

因此函数的图像关于y轴成轴对称.

    结论：函数图像关于y轴对称的充要条件是对任意的，都有且.

（设计意图：通过充分性必要性证明总结出关于y轴对称的代数形式）

偶函数定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有且，就称函数为偶函数.

【问题3】判断下列哪些函数是偶函数？并说明理由

(1) ；(2)；(3).

 [问题4]借助幂函数的对称性，类比探究偶函数的方法，探究奇函数的定义.

奇函数定义：对于函数，如果对于定义域D中任意给定的实数，都有且，我们就称函数为奇函数.

（设计意图：在学习了偶函数的定义后，让学生自己总结归纳出奇函数的定义，提升数学抽象、规范表达和逻辑推理能力.）

（四）学以致用   解决问题
[问题5] 证明：函数是奇函数.

（设计意图：利用函数奇偶性定义来解决问题，发展逻辑推理素养.）

    [问题6] 若所有函数构成集合U，记所有偶函数构成集合A，所有奇函数构成集合B，则可把U分为几部分？

 [问题7]  能否举出一个函数，使得它既是奇函数又是偶函数？

（设计意图：用集合引发学生思考，引出还有两类函数既非奇函数又非偶函数和既是奇函数又是偶函数的函数.）

（五）课堂小结 形成结构

数学知识：偶函数与奇函数的概念及性质.

数学思想方法：化归思想、数形结合.        

数学素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理.

结束语：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。                                                                                                                ——华罗庚

八、课堂学习和评价

1.基础性作业

教材P127 练习5.2（1）；

教材P135 习题5.2 A组1-3.

2.选择性作业

1.已知是奇函数，是偶函数，且，，则          ．

2.设为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，对任意实数，都有，求与的表达式.

3.探究性作业

对于定义在上的任意函数，是否总存在上的奇函数和偶函数，使得对任意实数，都有．